При получении грузов морским транспортом возникает вопрос определения длительности перевозки. Бесспорно, существует некоторое минимальное время, за которое можно привезти груз. Очевидно, что можно определить реднее время доставки и период наиболее вероятного получения груза, но когда в цепочке доставки много звеньеа, получается весьма значительный разброс в определении времени. Для решения подобных задач часто используется модель нормального распределения, однако практика показвает,что для данного случая она не совсем корректна.

Зачем вообще нужно оценивать время транспортировки? В первую очередь для достижения двух целей: определения времени оплаты таможенных платежей и расчета оперативного запаса товара. Неверная оценка времени платежей может привести либо к штрафам за хранение, либо к увеличению срока отвлечения денег на таможенные платежи. Что касается второй цели, то здесь неверная оценка оперативного запаса приводит либо к дефициту, либо к затовариванию, то есть в целом к снижению уровня обслуживания. Использование стандартной методики и нормального распределения времени доставки¹ иногда дает неверные результаты. Предлагаемая методика позволяет оценить границы применимости стандартной модели и получить более адекватную оценку времени прибытия.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Предположим, что груз перевозится из пункта А в пункт В. Общее время Т, затраченное на перевозку, можно представить в виде суммы двух составляющих: Т = t₀ + t, где t₀ – время самой перевозки (его можно интерпретировать как минимально возможное время перевозки), а t – время, потраченное на остановки и простои². Если предположить, что среднее количество простоев во время транспортировки есть величина постоянная и равная N, то вероятность n остановок в конкретной перевозке будет иметь следующее значение:

С другой стороны, если длительность одной остановки описывается показательным распределением (случайный процесс) со средним временем

то воспользовавшись формулой свертки, мы можем получить плотность вероятности длительности простоя в случае n остановок в пути:

Производя суммирование по всем возможным количествам остановок в пути с учетом вероятности их возникновения, получим функцию распределения времени простоя:

Учитывая определение модифицированной функции Бесселя первого рода, уравнение (4) можно представить в виде:

Рассмотрим первые два момента полученной функции распределения. По определению, k-й момент функции распределения:

Первый момент, математическое ожидание, получается путем почленного интегрирования и суммирования ряда, определенного уравнением (4):

Полученный результат является хорошо предсказуемым, поскольку представляет собой величину среднего простоя при N остановках в пути. Аналогичным образом вычисленный второй момент функции распределения оказывается равным:

Принимая во внимание определение дисперсии D = M2 – E² и учитывая величины математического ожидания и второго момента, получаем дисперсию распределения:

Пользуясь величинами математического ожидания и дисперсии, окончательно уравнение (5) можно переписать в следующем виде:

Если время простоя и дисперсию измерять в единицах среднего простоя E (в данном случае t = t_E = t/E, E = 1), то уравнение (10) можно представить в несколько упрощенном виде:

Таким образом, получаем, что функция распределения времени в пути может быть записана следующим образом:

Запись функции распределения в виде уравнения 12 показывает, что t0 (минимально возможное время в пути) является параметром сдвига, E (среднее время простоя в пути) является параметром масштаба, а дисперсия D = 2, является существенным параметром распределения.

ПОЧЕМУ ВАЖЕН ПОКАЗАТЕЛЬ ДИСПЕРСИИ

Рассмотрим подробнее характерный вид функции распределения (11) в зависимости от значения параметра³ D. На рис. 1 изображен характерный вид функции распределения при малых значениях дисперсии (в данном случае среднеквадратичное отклонение⁴ равнялось 0,4). Для сравнения приводится нормальное распределение n(t) с аналогично приведенными параметрами: средним значением – 1 и среднеквадратичным отклонением – 0,4. Расчеты показывают, что чем меньше значение дисперсии, тем ближе получаются кривые распределений. Этот результат можно объяснить как следствие действия центральной предельной теоремы. При увеличении среднеквадратичного отклонения характерный вид распределения меняется.

Рисунок 1. Вид функции распределения при малых значениях дисперсии

На рис. 2 показан вид распределения при среднеквадратичном отклонении, равном 0,8. Как видно из графика, максимум распределения существенно отличается от приведенного с аналогичными параметрами нормального распределения. На рис. 2 не показана левая часть нормального распределения (находящаяся в области отрицательных значений), поскольку она соответствует невозможным событиям – отрицательным простоям. При дальнейшем увеличении среднеквадратичного отклонения различия в функциях распределения становятся существенными.

Рисунок 2. Вид функции распределения при более заметном показателе отклонения

Рисунок 3. Пример несоответствия различных функций распределения при увеличении показателя отклонения

На рис. 3 изображены кривые распределений при среднеквадратичном отклонении, равном 1,6. Как видно из графиков, функция распределения времени простоя становится монотонно убывающей без экстремумов. Учитывая, что максимум функции распределения смещается к нулю с ростом среднеквадратичного отклонения, мы можем определить «критическое» значение дисперсии (среднеквадратического отклонения), при котором исчезает максимум из следующего уравнения:

Решение данного уравнения дает:

То есть если величина дисперсии больше единицы, полученное распределение будет существенно отличаться от нормального. Впрочем, оценки, полученные при использовании нормального распределения, будут иными и при более низких значениях дисперсии. Для более наглядной демонстрации различий распределений рассмотрим две различные ситуации.

ПРИМЕР 1: РАННЕЕ ПРИБЫТИЕ

Первая ситуация – раннее прибытие груза. Раннее прибытие груза означает, что груз прибыл за время меньшее, чем минимальное время доставки плюс среднее время простоя в пути (T < t₀ + E или время простоя в пути 0 ? t ? E). Предположим, что средняя задержка в пути составляет один день (следовательно, общее время в пути равно минимальному времени плюс один день), а среднеквадратичное отклонение составляет 0,8 средней задержки в пути (0,8 дней). Зададим вероятность раннего прибытия равной 10% P(t) = 0,1, что означает:

Пользуясь данными таблицы на стр. 32, получим t = 0,20E = 0,20 x 1 = 0,20. Другими словами, груз прибудет в пункт назначения за минимальное время плюс 4 ч 48 мин. (24 x 0,20 ч) с вероятностью 10%. Аналогичные выкладки при использовании функции нормального распределения приводят к выводу о том, что груз прибудет на 36 мин. ранее минимального времени доставки (что невозможно!). На рис. 4 показано время простоя как функция от величины среднеквадратичного отклонения времени прибытия при 10% вероятности раннего прибытия. Красным отмечено нормальное распределение.

Как видно из рис. 4, применение нормального распределения дает сравнимые результаты при величине среднеквадратичного отклонения менее 0,6. Если уменьшать вероятность раннего прибытия, то область применимости нормального распределения тоже будет сужаться. При увеличении вероятности раннего прибытия, область применимости нормального распределения будет увеличиваться, но не превзойдет ? = 1 (см. вывод уравнения 14).

ПРИМЕР 2: ПОЗДНЕЕ ПРИБЫТИЕ

Вторая ситуация – позднее прибытие груза. В данном случае позднее прибытие груза означает, что груз прибывает позднее, чем минимальное время доставки плюс среднее время простоя в пути (T > t₀ + E или t > E время простоя больше среднего). Предположим, что среднее время простоя Е равно 10 дням, а среднеквадратичное отклонение от среднего времени прибытия составляет 15 дней. Требуется найти период времени прибытия груза с вероятностью 95%. Или, что то же самое, с вероятностью 95% груз прибудет в течение времени t₀ + t. Следовательно, P(t) > 0,95, или:

Приведенное среднеквадратичное отклонение σ_E = σ/E составит величину 15/10 = 1,5. Пользуясь данными таблицы, получаем t_E = 4,95. Следовательно, груз с вероятностью 95% будет доставлен в период времени t₀ ? T ? t₀ + T_EE. Максимальное время ожидания (с вероятностью 95%) составит 4,95 x 10 = = 50 дней плюс минимальное время в пути. Пользуясь аналогичными рассуждениями для нормального закона распределения, получим 3,47 x 10 ? 35 дней плюс минимальное время в пути. Таким образом, разница составила около 15 дней. Следовательно, запас, вычисленный при помощи нормального распределения, будет соответствовать меньшей вероятности (в данном случае 87,2%), и вероятность истощения запасов на складе возрастает (здесь в (100% – 87,2%)/(100% – 95%) = = 2,56 раза!). На рис. 5 длительность времени простоя t показана как функция от среднеквадратичного отклонения для вероятности доставки в течение периода t0 + t для вероятности 90%.

 Аналогично ситуации с ранней доставкой нормальное распределение дает близкие результаты при малых значениях среднеквадратичного отклонения. Например, в случае вероятности 90% отличие во времени простоя t при среднеквадратичном отклонении, равном 0,7, составляет всего 3,26%, но при , равном 1,0, отличие составит 9,14%. При увеличении вероятности доставки ситуация усугубляется и различие увеличивается, что говорит о существенной разнице в поведении «хвостов» распределений.

ВЫВОДЫ

Предложенная функция распределения времени транспортировки (см. уравнения 10, 11, 12) лучше описывает характерный вид распределения по сравнению с нормальным законом. Особенно ярко отличия проявляются при больших значениях среднеквадратичного отклонения – существенного параметра, сильно влияющего на вид функции распределения.

Таблица. Некоторые интегральные значения функции распределения при различных значениях среднеквадратичного отклонения

Для практического применения распределения необходимо учесть еще один немаловажный фактор – отличие от нуля вероятности того, что груз прибудет в минимально возможное время. Вероятность этого события равна exp(–N) = exp(–2E²/D) = exp(–2/D_E). Если считать, что вероятность прибытия в минимально возможное время равна нулю, то функцию распределения необходимо перенормировать. В этом случае у функции распределения появляется множитель

Несмотря на довольно сложный вид функции распределения (11), вычисление ее значений не составляет труда при использовании стандартных инженерных функций – таких приложений как, например, обычный Microsoft Excel. Для удобства пользования приводится таблица некоторых интегральных значений функции распределения при различных значениях среднеквадратичного отклонения (время простоя и среднеквадратичное отклонение измеряется в единицах среднего времени простоя). Точность данных, приведенных в таблице, составляет ±0,01 для величин интегралов•

[1] В стандартной модели предполагается, что время доставки имеет нормальное распределение 

[2] Для простоты будем предполагать, что транспорт либо движется с постоянной скоростью, либо стоит. Время на разгон и торможение будет делиться между этими двумя состояниями. Фактически, термин «простой» будет означать лишь часть времени перевозки, превосходящую минимально необходимое время.

[3] Здесь и далее, если не оговорено особо, рассматриваем дисперсию, приведенную к квадрату математического ожидания (измеряемую в квадрате среднего времени простоя): D_E = D/E².

[4] Среднеквадратичное отклонение аналогично измеряется в единицах среднего времени простоя

© ЛОГИСТИК&система www.logistpro.ru